Question

9．设函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a＞0时，判断函数f（x）在（0，+∞）内零点个数；
（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，由f（x）=0解方程即可得函数的零点；
（2）当a＞0时，由f（x）=0解方程即可得函数的零点个数；
（3）若函数f（x）有四个不同的零点，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²=$\frac{|x|-{2x}^{2}（x+2）}{x+2}$，
令|x|-2x²（x+2）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…①或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-x-{2x}^{3}-{4x}^{2}=0}\end{array}\right.$…②，
由①可得 x=0，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，或$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$；
由②可得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，
综上，当a=2时，函数f（x）的零点为x=0，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}+1$，$x=\frac{\sqrt{6}}{2}-1$或$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$；
（2）当a＞0，x＞0时，
函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²=$\frac{x-{ax}^{3}-2{ax}^{2}}{x+2}=\frac{x（1-{ax}^{2}-2ax）}{x+2}$，
令f（x）=0，
可得x（1-ax²-2ax）=0，
解得x=-1+$\sqrt{2}$，x=0（舍去），或x=-1-$\sqrt{2}$（舍去），
即函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点x=-1+$\sqrt{2}$；
（3）函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-ax²有四个不同的零点，
①x=0时，f（0）=0，所以x=0是函数f（x）的一个零点；
②当x≠0时，可得y=$\frac{|x|}{{x}^{2}}$与y=a（x+2）的图象在平面直角坐标系中有3个不同的交点，
分别画出它们的图象如下：
当y=a（x+2）与y=-$\frac{1}{x}$相切时，a=1，
所以若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，根据函数零点的定义建立方程公式是解决本题的关键．考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．