Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1=2a_n+1，知a_n+1+1=2（a_n+1），所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由an=2n-1，知数列{a_n}前n项和S_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1），由此能求出S_n．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+1=2n，
即an=2n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴数列{a_n}前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法．解题时要认真审题，注意构造法和分组求和法的合理运用．