Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_{n + 1} = 2S_n + 2 (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)在a_n与a_{n + 1}之间插入n个数，使这n + 2个数组成一个公差为d_n的等差数列．
①在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p (其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；
②求证：．

Answer 1

（1） （2）不存在（证明见解析） （3）证明见解析

试题分析：（1）利用和等比数列的定义即可得出；
（2）利用等差数列的通向公式即可得出；
①假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出；
②利用（2）的结论、“错位相减法”和等比数列的前和公式即可得出.
试题解析：(1)解：由，得：
两式相减：
∵数列是等比数列，∴，故
因此．
(2)解：由题意，即，故
①假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列
则，即：  (*)
∵成等差数列，∴
(*)可以化为，故，这与题设矛盾
∴在数列中不存在三项（其中是等差数列）成等比数列.
②令
则
两式相减得：
∴.