Question

在数列{}中， ="13" ，且前项的算术平均数等于第项的2-1倍（∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1），，， ，
（2）    见解析

（1）利用数列{}前项的算术平均数等于第项的2-1倍，推出关系式，通过=2，3，4，5求出此数列的前5项；
（2）通过（1）归纳出数列{}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证=1成立；第二步，假设=猜想成立，然后证明=时猜想也成立.
解：（1）由已知= ， =（2-1），分别取=2，3，4，5，得，，
，，
所以数列的前5项是：，，， ，.
（2）由（1）中的分析可以猜想（∈N*）．        
下面用数学归纳法证明：
①当=1时，猜想显然成立.
②假设当=（≥1且∈N*）时猜想成立，即 ．
那么由已知，得，
即．所以，
即，又由归纳假设，得，
所以，即当时，猜想也成立.
综上①和②知，对一切∈N*，都有成立．