Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（Ⅰ）当k=-$\frac{1}{2}$，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=-$\frac{1}{2}$x+m的距离为半径1，⇒m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，⇒A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0）
代入椭圆方程，求出a、b即可
（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r⇒m²=（1+k²）r²．联立直线方程和与椭圆的方程，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求解．

解答 解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=-$\frac{1}{2}$x+m的距离为半径1，∴$\frac{m}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=1$，⇒m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
切线l：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，⇒A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0）
∴a=$\sqrt{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
$△=（2{a}^{2}km）^{2}-4（{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）（{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）\\;＞0$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2{a}^{2}km}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$；
⇒（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）=m²（a²+b²）=（k²+1）a²b^2_…①
又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r⇒m²=（1+k²）r²…②
由①②得r²（a²+b²）=a²b²．
∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r²（a²+b²）=a²b²．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．