Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；

（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．

（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，

又由右准线方程为，得到，

解得，所以

所以，椭圆的方程为

（2）①设，而，则，

∵ ， ∴

因为点都在椭圆上，所以

，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，

所以

②由原点到直线的距离为，得，化简得：

联立直线的方程与椭圆的方程：，得

设，则，且

，

所以

的面积

，

因为在为单调减函数，

并且当时，，当时，，

所以的面积的范围为．