Question

【题目】已知函数，（其中,为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若分别是的极大值点和极小值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析

【解析】

（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.

（2）根据题意知等价于，设

，计算得到使，计算得到

得到证明.

（1）当时，，

的单调递增区间是，单调递减区间是；

时，，

①时，由解得或；由解得，的单调递增区间是和，单调递减区间是

②时，由解得；由解得或，的单调递增区间是，单调递减区间是和；

综上所述：

时，单调递增区间是，单调递减区间是；

时，单调递增区间是和，单调递减区间是；

时，单调递增区间是，单调递减区间是和；

（2）由已知和（1）得，当时满足题意，此时， ，

令，则.

令则恒成立，

在上单调递增，

使，即

从而当时， 单调递减，当时， 单调递增，

在上单调递减

，，

即，