Question

15．已知抛物线Γ：x²=2py（p＞0），焦点为F，点P在抛物线Γ上，且P到F的距离比P到直线y=-2的距离小1．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若点N为直线l：y=-5上的任意一点，过点N做抛物线Γ的切线NA与NB，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过某一定点．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）利用条件列出方程求出p；
（2）设N（a，-5），求出切点坐标，进而求出直线AB的方程．

解答 解：（1）抛物线的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
设P（x，y），则PF=y+$\frac{p}{2}$，P到直线y=-2的距离为y+2，
∴y+$\frac{p}{2}$+1=y+2，
∴p=2．
∴抛物线Γ的方程是x²=4y．
（2）抛物线方程化为f（x）=$\frac{{x}^{2}}{4}$，f′（x）=$\frac{x}{2}$．
设N（a，-5），A（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），则f′（x₀）=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，
即$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，解得x₀=a±$\sqrt{{a}^{2}+20}$．
∴A（a-$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$），B（a+$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10+a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$）．
∴直线AB的方程是$\frac{y-\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}}{a\sqrt{{a}^{2}+20}}$=$\frac{x-（a-\sqrt{{a}^{2}+20}）}{2\sqrt{{a}^{2}+20}}$．
整理得y=$\frac{a}{2}$x+5．
∴直线AB横过点（0，5）．

点评 本题考查了抛物线的性质，曲线的切线求法，是中档题．