Question

已知函数f（x）=2cosxsinx（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求函数y=f（x）图象的对称中心；
（2）若2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有两个相异的实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的对称中心；
（2）根据2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有两个相异的实根，建立条件关系即可，求m的取值范围．

解答： 解：f(x)=2cosx(

1

2

sinx-

3

2

cosx)+

3

sin2x+sinxcosx=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．
（1）由2x-

π

3

=kπ(k∈Z)得：x=

kπ

2

+

π

6

，
故f（x）的对称中心为(

kπ

2

+

π

6

，0)(k∈Z)．
（2）由2f（x）-m+1=0可得：f(x)=

m-1

2

．
∵x∈[

π

6

，

7π

12

]，2x-

π

3

∈[0，

5

6

π]，
故f（x）∈[0，2]．
结合函数图象，当1≤

m-1

2

＜2时，原方程有两个相异的实根，
故3≤m＜5．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．