题目内容
做一个圆柱形锅炉容积为v，两个底面的材料的造价为20元/m2，侧面的材料造价为15元/m2，问锅炉的底面直径与高的比为多少时造价最低？
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：由题意，设设底面半径为r，造价为y元；则侧面的高为
；故y=20×2×πr2+15×2×π×r×
，利用导数求最值点，从而求比值．
| v |
| πr2 |
| v |
| πr2 |
解答：
解：设底面半径为r，造价为y元；
则侧面的高为
；
故y=20×2×πr2+15×2×π×r×
=40πr2+30
，
y′=80πr-
=
=0，
则当r3=
时，造价最低；
此时，2r：
=2πr3：v
=2π×
：v
=3：4．
则侧面的高为
| v |
| πr2 |
故y=20×2×πr2+15×2×π×r×
| v |
| πr2 |
=40πr2+30
| v |
| r |
y′=80πr-
| 30v |
| r2 |
| 80πr3-30v |
| r2 |
则当r3=
| 3v |
| 8π |
此时，2r：
| v |
| πr2 |
=2π×
| 3v |
| 8π |
=3：4．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的表面积为（ ）A、（2
| ||
| B、2a2 | ||
C、（1+
| ||
D、（2+
|
如图，四棱锥V-ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD，求证：平面VBC⊥平面VAC．