Question

18．已知函数f（x）=x³-3x，若过点M（2，t）可作曲线y=f（x）的两条切线，且点M不在函数f（x）的图象上，则实数t的值为-6．

Answer 1

分析 设切点为（a，a³-3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点M代入切线方程，可得关于a的方程有两个不同的解，利用参变量分离可得2a³-6a²=-6-m，令g（x）=2x³-6x²，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=-6-t有两个不同的交点，即可得到t的值．

解答 解：设切点为（a，a³-3a），
f（x）=x³-3x，可得f′（x）=3x²-3，
即有切线的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
切线过点M（2，t），
可得t-（a³-3a）=（3a²-3）（2-a），即2a³-6a²=-6-t，
由过点M（2，t）（t≠2）可作曲线y=f（x）的两条切线，
即有关于a的方程2a³-6a²=-6-t有两个不同的根，
令g（x）=2x³-6x²，
g′（x）=6x²-12x=0，解得x=0或x=2，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，
g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=2时，g（x）取得极小值g（2）=-8，
关于a的方程2a³-6a²=-6-t有两个不同的根，
等价于y=g（x）与y=-6-t的图象有两个不同的交点，
可得-6-t=-8或-6-t=0，解得t=2或-6，
由M不在函数f（x）的图象上，可得t=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，属于中档题．