Question

已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。

Answer 1

（1）a=2时，在上单调增加；时，在上单调减少，在，上单调增加；时，在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加；                  
（2）证明详见解析

试题分析：（1）求导，利用导数分类求单调性；（2）先求导，然后求出单间区间，在进一步证明即可.
试题解析：（1）的定义域为，
（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。
（ii）若，而，故，则当时，；
当及时，。
故在上单调减少，在，上单调增加。
（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加。                  
（2）考虑函数，
则，
由于，故，即在上单调增加，从而当时，
有，即，故；
当时，有。