Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，极大值点为，极小值点为；当时，没有极值点；（2）.

【解析】

（1）先求导数，从与0的大小分类进行讨论，可求极值点；

（2）利用导数先求出的最大值，从而可得实数k的取值范围.

（1）由条件，，.

令，记.

当时，，恒成立，从而，在上单调递增，没有极值点.

当时，令，解得，

且.

当时；当时，；当时.

所以在和上单调递增，

在上单调递减，极大值点为，极小值点为.

综上所述，当时，极大值点为，极小值点为；当时，没有极值点.

（2）当时，，.

对任意的，恒成立，则

由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，最大值为和两者中较大者.

而，，

，所以，

解得.