Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；

（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）证明见解析

【解析】

（1）利用导数求函数在处的切线方程；（2）对分两种情况讨论，当时，再分三种情况结合导数分类讨论；（3）先求出，要使得在上存在极值，则须满足即分析推理即可得到.

（1）当时，，，，，

所以函数在处得切线方程为．

（2）因为，，，

所以．

①若，则，在上是单调增函数，

所以在上至多一个零点，与题意不符合．

②若，令，得．

		0
		极小值

（ⅰ）若，即时，有且仅有一个零点，与题意不符．

（ⅱ）若，即时，，，

又，且的图像在上不间断，

所以存在，使得．

此时，在恰有两个不同得零点和．

所以符合题意．

（ⅲ）若，即时，．

令，，，

所以在上是单调增函数，，

所以在上是单调增函数，．

所以，且，的图像在上不间断，

所以存在，使得．

此时，在恰有两个不同得零点和．

所以符合题意．

综上所述，实数的取值范围是或．

（3）依题意，．

则，令，，，

所以在上是单调增函数．

要使得在上存在极值，

则须满足即

所以，，即．

由（2）可知，当时，，

所以，．

所以，即，

所以．