Question

【题目】设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若不等式恒成立，求整数m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在，单调递增；在单调递减；

当时，在上单调递增.

（2）的最大值为

【解析】

（1）对求导，得到，设，分为，即；分，进行讨论，得到的正负，即的正负，从而得到的单调性；

（2）根据题意将问题转化为不等式恒成立，设则，求导得到，令，根据，得到单调递增，从而得到存在唯一的，使得，得到，通过进行代换，得到的范围，结合为整数，从而得到的最大值.

（1）函数，

所以，

设，其对称轴为

①时，即时，，

所以，在上单调递增；

②时，即时，由得

，

1）时，即时，

此时，

在小于，在大于

所以在单调递减，在单调递增

2）时，即时，

此时，

在大于，在小于，在大于，

所以在，单调递增；在单调递减；

综上所述：

当时，在单调递减，在单调递增；

当时，在，单调递增；在单调递减；

当时，在上单调递增.

（2）当时，若不等式恒成立，

即不等式恒成立，

设，则

由，

，

，

所以在恒成立，

所以在单调递增，

又，，

所以，存在唯一的，

使得①

且时，，∴单调递减，

时，，∴单调递增，

∴

由①代换可得

又，∴，

又易知：在单调递增，

所以，

又且为整数.

所以的最大值为.