Question

5．已知函数f（x）=e^x-3+x-2（e为自然对数的底数），g（x）=x²-ax-a+3，若存在实数x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0，且|x₁-x₂|≤1，则实数a的取值范围是[2，3]．

Answer 1

分析 由题意存在实数x₁，x₂，f（x₁）=0，即e^x-3+x-2=0，可求x₁=1，|x₁-x₂|≤1，故知0≤x₂≤2，即x²-ax-a+3=0时在0≤x₂≤2有解，分离参数利用不等式性质求解最值即可求实数a的取值范围．

解答 解：由题意：存在实数x₁使得函数f（x₁）=0，即f（x₁）=e^x₁-3+x₁-2=0，
解得：x₁=1，
∵|x₁-x₂|≤1，
即：g（x₂）=0，且|1-x2|≤1，
可得：0≤x₂≤2；
即x²-ax-a+3=0在0≤x₂≤2有解，
那么：$a=\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+4}{x+1}$=$（x+1）+\frac{4}{x+1}-2$．
设t=x+1，（1≤t≤3），则$\frac{4}{t}+t$在[1，2]递减，[2，3]递增．
∴可得最小值为2，最大值为3，
则a的取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．

点评 本题考查了二次函数的有解问题，构造思想，转化思想，分离参数利用不等式性质求解最值．属于中档题．