Question

16．已知实数x满足3^2x-4-$\frac{10}{3}$•3^x-1+9≤0，且$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_2}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）转化为二次不等式求解即可．
（2）根据对数的运算法则，化简f（x），利用换元法，转化为二次函数求解值域．

解答 解：（1）由3^2x-4-$\frac{10}{3}$•3^x-1+9≤0，
得3^2x-4-10•3^x-2+9≤0，
即（3^x-2-1）（3^x-2-9）≤0，
∴1≤3^x-2≤9，
∴2≤x≤4，
∴实数x的取值范围[2，4]
（2）∵$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_2}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$=（log₂x-1）（$\frac{1}{2}$log₂x-1）=$\frac{1}{2}$（log₂x-1）（log₂x-2），
设log₂x=t，则t∈[1，2]，
∴f（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）（t-2）=$\frac{1}{2}$（t²-3t+2）=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
∵f（t）在[1，$\frac{3}{2}$]上递减，在[$\frac{3}{2}$，2]上递增，
∴f（x）_min=f（t）_min=f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，此时log₂x=$\frac{3}{2}$，解得x=2$\sqrt{2}$，
f（x）_max=f（t）_max=f（1）=f（2）=0，此时当log₂x=1或log₂x=2，即x=2或x=4时．

点评 本题考查了指数的运算和对数的运算，转化思想，利用二次函数的配方求解最值问题，是一道中档题．