Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{x}$．
（1）判断奇偶性，并给出证明；
（2）写出单调区间；
（3）若f（x）＞a对任意x∈[2，+∞）恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断定义域是否关于原点对称，求f（-x）和f（x）的关系；
（2）直接写出即可，题中不要求证明；
（3）只需求f（x）的最小值即可，利用函数单调性求出最小值．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
∵f（-x）=$\frac{（-x）^{2}+2}{-x}$=-$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=-f（x），
∴函数为奇函数；
（2）f（x）=x+$\frac{2}{x}$
∴函数在（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上递增，在（-$\sqrt{2}$，0）和（0，$\sqrt{2}$）上递减；
（3）由（2）知，函数在[2，+∞）上递增，
∴f（x）≥f（2）=3＞a
∴a＜3．

点评 考察了奇函数的判断方法和恒成立问题．