Question

已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝3， ，连B，过点B作B1C的垂线，垂足为E且交CC1于F． (1) 求证：A1C⊥BF； (2) 求证：AC1∥平面BDF； (3) 求二面角F－BD－C的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：在长方体中，A1B1^ 面BC1，B1C为A1C在面BC1内的射影，BFÌ 面BC1，且BF^ B1C， ∴(3分)
(2)	证明：∵AB＝BC＝3，，在RtD B1BC中，B1C＝， ∵BF^ B1C于E，∴BC2＝CE× CB1，得CE＝，由D BB1E∽D FCE得＝，即F为C1C的中点．(7分) 连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，则OF∥AC1， ∵AC1Ë 面BDF，OFÌ 面BDF，∴∥平面BDF．(9分)
(3)	解：在长方体中，C1C^ 面AC，OC为OF在面AC内的射影，BDÌ 面AC，且BD^ AC，∴BD^ OF，∴∠FOC为二面角F－BD－C的平面角．(11分) 在Rt△ABC中，OC＝AC＝，CF＝C1C＝，∴OC＝CF，∴∠FOC＝45° ∴二面角F－BD－C的大小为45°(13分)