Question

【题目】已知f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，

f′（x）=3ax2+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，

切点为（1，1），则f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（1，1），

得a+b+1=1②，联立①②解得a=1，b=﹣1，

∴f（x）=x3﹣x2+1

（2）解：f′（x）=3x2﹣2x＞0得x＜0或x＞ ，

单调递增区间为（﹣∞，0），（ ，+∞）

【解析】（1）由f（x）=ax3+bx2+c的图象经过点（0，1），得c=1，由导数的几何意义得f′（1）=3a+2b=1①，易求切点（1，1），代入函数解析式可得a+b+1=1②，联立可解；（2）解不等式f′（x）＞0可得增区间，注意写成区间形式；
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．