Question

（本小题满分13分）已知数列满足，，数列的前n项和为,

，其中．

（1）求的值；

（2）证明：数列为等比数列；

（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）存在唯一的，使得成立．

【解析】

试题分析：（1）由，根据递推公式可求得，所以有．

（2）由题设知： ，由此可证数列为等比数列；

（3）由 （2）知，所以．

由于，则令由题设中的递推公式易得：由此求出求出的表达式，将原问题转化为函数方程问题．

试题解析： 【解析】
（1）因为，所以．

（或者根据已知，可得．） 3分

（2）证明：,

，故数列是首项为1，公比为－2的等比数列． 7分

（3）由（2）知，

所以．

设，

又

．

则由，得，

设，

则，

，所以在上单调递增，

，即，所以在上单调递增

又因为，

所以仅存在唯一的，使得成立． 13分

考点：1、数列的递推公式；2、等差数列与等比数列；3、用函数方程的思想解决数列问题．