Question

5．若函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在R上存在三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞$\sqrt{2}$
• B． a＞$\sqrt{2}$或a＜-$\sqrt{2}$
• C． a＜-$\sqrt{2}$
• D． a＜-1

Answer 1

分析 根据函数函数f（x）有三个相异的零点，可得函数f（x）的极大值与极小值异号，利用导数确定函数的极大值与极小值，从而可得不等式，故可求实数a的取值范围

解答 解：∵函数f（x）=）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在x∈R上有三个零点，
∴函数f（x）的极大值与极小值异号．
∵f′（x）=3x²-3ax
∴f′（x）=0时，x=0或x=a
∴f（0）×f（a）=a（a³-$\frac{3}{2}$a³+a）＜0，
∴1-$\frac{1}{2}{a}^{2}$＜0，
∴a＞$\sqrt{2}$，或a＜$-\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题以函数为载体，考查函数的零点，考查利用导数求函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，将函数f（x）有三个相异的零点，转化为函数f（x）的极大值与极小值异号是解题的关键．