Question

15．装潢师小王在墙面上设计了如图所示的一个图案，已知四边形四个顶点都在圆周上，且AD=DC=4m，BC=6m，∠A=120°，现在小王想买乳胶漆给四边形ABCD涂色，依据设计方案四边形的四边涂成红色，四边形内部要涂成蓝色，他想根据线段的长度与四边形的面积来买乳胶漆．请你帮他计算：
（1）线段AB的长度；
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△BCD中，利用余弦定理求出BD，再在△ABD中，利用余弦定理求出AB；
（2）利用S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）在△BCD中，∠C=180°-∠A=60°，
∴BD²=BC²+DC²-2BC×CD×cosC=36+16-24=28，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cosA=AB²+16+4AB
∴AB²+4AB-12=0，
∴（AB-2）（AB+6）=0，
∴AB=2，
（2）S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×AB×sinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC×CD×sinC=$\frac{1}{2}$×6×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．