Question

在极坐标系中，O是极点，A ( 

2

， 

5π

8

 )，B ( 2， 

3π

8

 )则△AOB的形状为

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出极坐标系，表示出点A和B在极坐标系中的位置，连接AB，由点A和B所对的角求出∠AOB的度数，在三角形AOB中，由OA，OB及cos∠AOB的值，利用余弦定理求出AB的长，得到AB与OA长相等，然后再利用勾股定理的逆定理判断得到此三角形也为直角三角形，从而得到三角形AOB为等腰直角三角形．

解答：
解：在极坐标系中，由点A所对的角

5π

8

，点B所对的角

3π

8

，
得到∠AOB=

5π

8

-

3π

8

=

π

4

，
在△AOB中，OA=

2

，OB=2，cos∠AOB=sin

π

4

=

2

2

，
根据余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，
即AB2=2+4-2×

2

×2×

2

2

=2，
解得：AB=

2

，
∴OA=AB=

2

，又OB=2，
∴OA²+AB²=2+2=4，OB²=4，
∴OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°，
则△AOB的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形

点评：此题考查了三角形形状的判断，用到的知识有余弦定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理，考查了数形结合的思想．根据极坐标的意义，借助图形求出∠AOB的度数是本题的突破点．