题目内容
已知椭圆
+
=1，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点．设
=λ1
，
=λ2
，则λ1+λ2等于 ．
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| PA |
| AF |
| PB |
| BF |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．
解答：
解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）
设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），
∵
=λ1
，
∴（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1），
∵
=λ2
，
∴（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．
λ1=
，λ2=
，
直线l方程，代入椭圆
+
=1消去y
可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．
x1+x2=
，x1•x2=
，
∴λ1+λ2=
+
=
=
=-
故答案为-
．
设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），
∵
| PA |
| AF |
∴（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1），
∵
| PB |
| BF |
∴（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．
λ1=
| x1 |
| 4-x1 |
| x2 |
| 4-x2 |
直线l方程，代入椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．
x1+x2=
| 200k2 |
| 9+25k2 |
| 400k2-225 |
| 9+25k2 |
∴λ1+λ2=
| x1 |
| 4-x1 |
| x2 |
| 4-x2 |
=
| 4(x1+x2)-2x1•x2 |
| 16-4(x1+x2)+x1•x2 |
=
4•
| ||||
16-4•
|
=-
| 50 |
| 9 |
故答案为-
| 50 |
| 9 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|