Question

如图所示的曲线C由曲线C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，y≥0）和曲线C₂：x²+y²=a²（y＜0）组成，已知曲线C₁过点（

3

，

1

2

），离心率为

3

2

，点A，B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点．
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）若点Q是曲线C₂上的任意一点，求△QAB面积的最大值及点Q的坐标；
（3）若点F为曲线C₁的右焦点，直线l；y=kx+m与曲线C₁相切于点M，且与直线x=

4 3

3

交于点N，过点P做MN，垂足为H，求证|FH|²=|MH|+|HN|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

3

a2

+

1

4b2

=1，e=

3

2

由此能求出曲线C₁的方程和曲线C₂的方程．
（2）由（1）知AB所在直线为x-2y+2=0，由题意知当曲线C₂在点Q上的切线与直线AB平行时，△QAB面积最大，由此能求出△QAB面积的最大值及点Q的坐标．
（3）设M（x₀，y₀），由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由直线l与曲线C₁相切于M，得m²=4k²+1，由此利用向量知识结合已知条件能证明|FH|²=|MH|+|HN|．

解答： （1）解：由已知得

3

a2

+

1

4b2

=1，①
又e=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，②
由①②得a²=4，b²=1，
∴曲线C₁的方程为

x2

4

+y2=1．（y≥0）．
曲线C₂的方程为x²+y²=4（y＜0）．
（2）解：由（1）知A（-2，0），B（0，1），
∴AB所在直线为x-2y+2=0，
由题意知当曲线C₂在点Q上的切线与直线AB平行时，△QAB面积最大，
设此时切线方程为x-2y+t=0，t＜0，
由直线与圆相切得：

|t|

5

=2，∴t=-2

5

或t=2

5

（舍）
此时△QAB的高为：h=

|2-(-2 5 )|

5

=2+

2 5

5

，
（S_△QAB）_min=

1

2

|AB|•h=

1

2

×

5

×(2+

2 5

5

)=

5

+1，
由

x-2y-2 5 =0 x2+y2=4

，得x=

2 5

5

，y=-

4 5

5

，∴Q（

2 5

5

，-

4 5

5

），
∴△QAB面积的最大值为

5

+1，此时点Q坐标为（

2 5

5

，-

4 5

5

）．
（3）证明：由题意得F（

3

，0），N（

4 3

3

，

4 3 k

3

+m），
设M（x₀，y₀），由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
又直线l与曲线C₁相切于M，
∴△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，
即m²=4k²+1，
x0=

1

2

×(-

8km

1+4k2

)=-

4km

1+4k2

，y0=kx0+m=

m

1+4k2

，
∴M（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
∴

FM

=(-

4km

1+4k2

-

3

，

m

1+4k2

)，

FN

=(

3

3

，

4 3k

3

+m)，

FM

•

FN

=（-

4km

1+4k2

-

3

）×

3

3

+

m

1+4k2

×(

4 3 k

3

+m)
=

-4 3 km

3(1+4k2)

-1+

4 3 km+3m2

3(1+4k2)

=

m2

1+4k2

-1，
又m²=4k²+1，∴

FM

•

FN

=0，
∴

FM

•

FN

=0，∴△MFN为直角三角形，
在Rt△MFN中，FH⊥MN，∴|FH|²=|MH|+|HN|．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的相应的点的坐标的求法，考查等式的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．