题目内容
设A∩M=B∩M=A∩B，A∪B∪M=A∪B，求证：M=A∩B．
考点：并集及其运算
专题：集合
分析：根据集合关系即可得到结论．
解答：
解：先证明M是A∩B的子集，如果M里面有一个元素在A∪B外，
则A∪B∪M=A∪B，不成立，
如果M有一个元素在A不在B，
则A∩M=A∩B不成立，
同样可以证明M不可能有元素在B不在A，
∴M的每一个元素都在A∩B，
M是A∩B的子集，
再证明：A∩B是M的子集
如果 A∩B里面有一个元素不属于M，
则这个元素不属于A∩M，
A∩M=A∩B，
则这个元素不属于A∩B，
这个显然矛盾，
∴A∩B属于M，
∴A∩B和M互为子集，
∴两者是等集，
∴M=A∩B
则A∪B∪M=A∪B，不成立，
如果M有一个元素在A不在B，
则A∩M=A∩B不成立，
同样可以证明M不可能有元素在B不在A，
∴M的每一个元素都在A∩B，
M是A∩B的子集，
再证明：A∩B是M的子集
如果 A∩B里面有一个元素不属于M，
则这个元素不属于A∩M，
A∩M=A∩B，
则这个元素不属于A∩B，
这个显然矛盾，
∴A∩B属于M，
∴A∩B和M互为子集，
∴两者是等集，
∴M=A∩B
点评：本题主要考查集合的关系的判断，根据集合关系进行推理是解决本题的关键．
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