Question

一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计算时间．
（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记f（t）=h，求证：不论t为何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．

Answer 1

解：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设h=Asin（ωt+φ）+k，（﹣＜φ＜0），
则A=2，k=1，
∵T=3=，
∴ω=
∴h=2sin（t+φ）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sinφ+1，
∴sinφ=﹣，
∴﹣＜φ＜0，
∴φ=﹣，
∴h=2sin（t﹣）+1
（2）令2sin（t﹣）+1=3，
得sin（t﹣）=1，
∴t﹣=，
∴t=1，
∴点P第一次到达最高点大约要1s的时间；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（t﹣）+1=sint﹣cost+1，
f （t+1）=2sin（t+）+1=2cost+1，
f （t+2）=2sin（t+）+1=﹣sint﹣cost+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（为定值）．