Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用

PF1

•

PF2

=-

5

4

，以及P在椭圆上，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），就是

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

．
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)(

3

-x，-y)=x2+y2-3=-

5

4

，又

x2

4

+y2=1，
联立

x2+y2= 7 4 x2 4 +y2=1

，解得

x2=1 y2= 3 4

?

x=1 y= 3 2

，P(1，

3

2

)．

（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x2 4 +y2=1 y=kx+2

?x2+4(kx+2)2=4?(1+4k2)x2+16kx+12=0
∴x1x2=

12

1+4k2

，x1+x2=-

16k

1+4k2

由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得k2＞

3

4

．①
又∠AOB为锐角?cos∠AOB＞0?

OA

•

OB

＞0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=(1+k2)•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

2k•16k

1+4k2

+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0
∴-

1

4

＜k2＜4．②
综①②可知

3

4

＜k2＜4，
∴k的取值范围是(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．