题目内容

(2009•南汇区二模)设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)若P是该椭圆上的一个动点,点A(5,0),求线段AP中点M的轨迹方程.
分析:(1)利用右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍,可求c=1,且b=2c=2,从而可求椭圆的标准方程;
(2)用坐标表示向量,结合椭圆的范围,从而确定向量数量积的最大值;
(3)设设M(x,y),利用M是AP的中点,求得P点坐标为(2x-5,2y),代入椭圆方程可求解.
解答:解:(1)易知直线y=x-1与x轴的交点是(1,0),所以c=1,且b=2c=2,
所以椭圆的方程是
x2
5
+
y2
4
=1
…(4分)
(2)易知F1=(-1,0),F2(1,0)…(6分)
设P(x,y),则
PF1
PF2
=(-1-x,-y)•(1-x,-y)=x2+y2-1

=x2+4-
4
5
x2-1=
1
5
x2+3
…(8分)∵x∈[-
5
5
]
,∴当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,
PF1
PF2
有最小值3;
x=±
5
,即点P为椭圆长轴端点时,
PF1
PF2
有最大值4     …(10分)
(3)设M(x,y),则P点坐标为(2x-5,2y),…(12分)
代入椭圆方程,得:
(2x-5)2
5
+
(2y)2
4
=1
,即
(2x-5)2
5
+y2=1
…(16分)
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题,主要考查椭圆的标准方程,考查向量意解析几何的结合,同时考查代入法求轨迹方程,由一定的综合性
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