Question

（2009•南汇区二模）设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），利用右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍所以c=1，且b=2c=2，故方程可求；
（2）设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3
根据x的取值范围能够得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5），再把直线y=k（x-5）和椭圆

x2

5

+

y2

4

=1联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由．

解答：解：（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以椭圆的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F₂（1，0）…（6分）
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值3；
当x=±

5

，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）假设存在这样的直线：y=kx+b   5k+b=0 k=-

b

5

连接F₂C，F₂D，并作F₂H垂直于CD，交直线y与H，△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为（x₁，y₁）D 点的坐标为（x₂，y₂），F₂H的斜率为：

5

b

把y=kx+b和

x2

5

+

y2

4

=1联立，并消去y：
（20+b²）x²-10b² x+25b²-100=0
根据二次方程定理：

x1+x2

2

=

5b2

20+b2

同理

y1+y2

2

=

20b

20+b2

∴直线的斜率

20b 20+b2

5b2 20+b2 -1

 =

5

b

．方程b无解
故不存在直线，使得|F₂C|=|F₂D|

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合运用．主要考查椭圆的标准方程，考查椭圆与向量的结合，最值的求解，考查代入法求轨迹方程，解题时要仔细审题，认真解答．