Question

（2013•安徽）设椭圆E：

x2

a2

+

y2

1-a2

=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出a2-(1-a2)=(

1

2

)2，解出即可；
（2）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=

2a2-1

．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F₁P的斜率kF1P=

y0

x0+c

，直线F₂P的方程为y=

y0

x0-c

(x-c)．即可得出Q(0，

cy0

c-x0

)．得到直线F₁Q的斜率kF1Q=

y0

c-x0

．利用F₁Q⊥F₁P，可得kF1Q•kF1P=

y0

x0+c

•

y0

c-x0

=-1．化为

y

2 0

=

x

2 0

-(2a2-1)．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．

解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴a2-(1-a2)=(

1

2

)2，解得a2=

5

8

．
故椭圆E的方程为

8x2

5

+

8y2

3

=1．
（2）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=

2a2-1

．
由题设可知：x₀≠c．则直线F₁P的斜率kF1P=

y0

x0+c

，直线F₂P的斜率kF2P=

y0

x0-c

．
故直线F₂P的方程为y=

y0

x0-c

(x-c)．
令x=0，解得y=

cy0

c-x0

．即点Q(0，

cy0

c-x0

)．
因此直线F₁Q的斜率kF1Q=

y0

c-x0

．
∵F₁Q⊥F₁P，∴kF1Q•kF1P=

y0

x0+c

•

y0

c-x0

=-1．
化为

y

2 0

=

x

2 0

-(2a2-1)．
联立

y 2 0 = x 2 0 -(2a2-1) x 2 0 a2 + y 2 0 1-a2 =1

，及x₀＞0，y₀＞0，
解得x0=a2，y0=1-a2．
即点P在定直线x+y=1上．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力．