Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+4．
（1）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）b_n=log₃（a_n+2），数列{b_n}的前n项和S_n，求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=3a_n+4变形可知a_n+1+2=3（a_n+2），进而可知数列{a_n+2}是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）知b_n=n，进而计算、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 （1）证明：由a_n+1=3a_n+4得a_n+1+2=3（a_n+2），
又因为a₁+2=3，
所以{a_n+2}是首项、公比均为3的等比数列，
所以${a_n}+2={3^n}$，
因此数列{a_n}的通项公式为${a_n}={3^n}-2$；
（2）解：由（1）知b_n=log₃（a_n+2）=n，
∴${S_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}=2[{（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形及裂项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．