Question

11．已知正四棱锥S-ABCD中，SA=2$\sqrt{3}$，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为2．

Answer 1

分析 设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．

解答 解：设底面边长为a，则高h=$\sqrt{{SA}^{2}-（{\frac{\sqrt{2}a}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{2}}$，所以体积V=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$$\sqrt{12{a}^{4}-\frac{{a}^{6}}{2}}$，
设y=12a⁴-$\frac{1}{2}$a⁶，则y′=48a³-3a⁵，当y取最值时，y′=48a³-3a⁵=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，
此时h=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{2}}$=2，
故答案为：2．

点评 本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．