Question

如图，边长为2的等边三角形ADE垂直于矩形ABCD所在平面，F是AB中点，EC和平面ABCD成角，求：

(1)四棱锥E－AFCD的体积；

(2)二面角E－FC－D的大小；

(3)D到平面EFC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)在平面EAD内，EG⊥AD于G．由平面EAD⊥底面ABCD，且，知EG⊥平面ABCD． 连结CG，则CG是EC在平面ABCD内的射影． 所以∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，即∠ECG=． 在Rt△EGC中，EG=，EC=，GC=3． 在Rt△GDC中，GD=1，GC=3，故CD=． (2)由∠BAD=，知BA⊥平面EAD，故BA⊥AE，EF==，FC=，． ∴△EFC是等腰直角三角形． 连结FG，则FG是EF在平面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理，GF⊥FC． ∴ ∠EFG是二面角E－CF－D的平面角． 由FG=EG=，知∠EFG=，即二面角E－FC－D是的二面角． (3)连结DF，D到平面EFC的距离h为棱锥D－EFC的高． 本例易错的地方是第二问中∠EFG为二面角E－CF－D的平面角．此平面角是通过“计算”得到的，如果先作平面角，过G向FC作垂线，垂足为，经过运算F与必重合．可看出“计算”在解此题中的重要性．