Question

（2010•朝阳区二模）如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）取DC的中点N，连接PN，AN，NM．因为PD=PC，所以PN⊥DC．因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD．由此能够证明AM⊥PM．
（Ⅱ）由AM⊥PM且NM⊥AM，知∠PMN为二面角P-AM-D的平面角，由此能求出二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，由V_P-AMD=V_D-PAM，求得d=

2 6

3

，所以点D到平面PAM的距离为

2 6

3

．由此能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．
法二：（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系D-xyz，得D（0，0，0），P（0，1，

3

），C（0，2，0），A（2

2

，0，0），M（

2

，2，0），由

PM

•

PN

=0，得到AM⊥PM．
（Ⅱ）设

n

=(x，y，z)，且

n

⊥平面PAM，由

2 x+y- 3 z=0  - 2 x+2y=0

，得

n

=(

2

，1，

3

)，取

p

=(0，0，1)，显然

p

⊥平面ABCD，由向量法能得到二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）  设直线PD与平面PAM所成角为θ，由向量法能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．

解答：（方法一）
（Ⅰ）证明：取DC的中点N，连接PN，AN，NM．
因为PD=PC，所以PN⊥DC
又因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
所以PN⊥平面ABCD，
所以PN⊥AM．因为AN=3，MN=

3

，AM=

6

，
所以NM⊥AM，
又因为PN∩NM=N，所以AM⊥PM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PM且NM⊥AM，
所以∠PMN为二面角P-AM-D的平面角，
又因为PN=NM=

3

，
所以∠PMN=45°．即二面角P-AM-D的大小为45°．
（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，
因为V_P-AMD=V_D-PAM，
所以

1

3

•SAMD•PN=

1

3

SPAM•d，
求得d=

2 6

3

，即点D到平面PAM的距离为

2 6

3

．
设直线PD与平面PAM所成角为θ，
则sinθ=

d

PD

=

6

3

，
故直线PD与平面PAM所成角的正弦值为

6

3

．

（方法二）（Ⅰ） 证明  以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
依题意，可得D（0，0，0），P（0，1，

3

），C（0，2，0），
A（2

2

，0，0），M（

2

，2，0），
∴

PM

=(

2

，2，0)-(0，1，

3

)=(

2

，1，-

3

)，

AM

=(

2

，2，0)-(2 

2

，0，0)=(- 

2

，2，0)，
∴

PM

•

PN

=-2+2+0=0，
即

PM

⊥

AM

，∴AM⊥PM．
（Ⅱ）解  设

n

=(x，y，z)，
且

n

⊥平面PAM，
则

n • PM =0 n • AM =0

，
∴

2 x+y- 3 z=0  - 2 x+2y=0

，

n

=(

2

，1，

3

)，
取

p

=(0，0，1)，
显然

p

⊥平面ABCD，
∴cos＜

n

，

p

＞=

n • p

| n |•| p |

=

3

6

=

2

2

．
结合图形可知，二面角P-AM-D为45°．
（Ⅲ）  设直线PD与平面PAM所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DP

，

n

＞|=|

DP • n

| DP || n |

|=

6

3

故直线PD与平面PAM所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，求二面角的大小，求直线与平面所成角的正弦值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．