Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；     
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，证明PE⊥平面ABCD，从而可得△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，利用勾股定理可得结论；
（Ⅱ）利用V_P-ADM=V_D-PAM，可求D点到平面PAM的距离．

解答：（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

3

∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V_P-ADM=V_D-PAM
∴

1

3

S△ADM•PE=

1

3

S△PAM•d
而S△ADM=

1

2

AD•CD=2

2

在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=

6

∴S△PAM=

1

2

AM•PM=3
∴

1

3

×2

2

×

3

=

1

3

×3×d
∴d=

2 6

3

，即点D到平面PAM的距离为

2 6

3

点评：本题考查线线垂直，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．