Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点

(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；

(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离

Answer 1

(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)45°(Ⅲ)

解析:

(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.

∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD           （2分）

∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形

由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3

∴                           （4分）

，又在平面ABCD上射影：

∴∠AME=90°，       ∴AM⊥PM                   （6分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角            （8分）

∴tan ∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P－AM－D为45°；                    （10分）

(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则

 ，    ∴

而                          （12分）

在中，由勾股定理可求得PM=

,所以：∴

即点D到平面PAM的距离为                        （14分）

解法2：(Ⅰ) 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

依题意，可得

     ……2分

∴

      （4分）

∴ 

即,∴AM⊥PM              （6分）

 (Ⅱ)设，且平面PAM，则

   即

∴ ，   

取，得                     （8分）

取，显然平面ABCD，    ∴

结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；     （10分）

(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则

=

即点D到平面PAM的距离为               （14分）