Question

【题目】已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．

（1）求证：AB平面ADE；

（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据勾股定理得，再根据线面垂直判定定理得结果,（2）先根据条件证得直线DE,DA,DC两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（1）因为 ，，所以

因为四边形CDEF为矩形，所以，

因为,所以，

因为，所以

(2)因为 ，，所以，

由（1）得，所以直线DE,DA,DC两两互相垂直，

故以点D为坐标原点，分别以正方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

则E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），

设平面EBC和平面BCF法向量分别为，，

则,所以，

取得，

同理，所以

取得

设所求角为，则，即所求锐二面角的余弦值为.