Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（x，y）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为xx+3yy-6=0．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B的坐标代人椭圆的方程即可解得a²，b²；
（2）①把直线l的方程与椭圆的方程联立，证明△=0即可；
②把直线l的方程为xx+3yy-6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3yx-xy+6y=0联立即可得到交点坐标，再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标，得到直线PQ的方程即可证明．
解答：解：（1）由题意得解得
所以所求椭圆C的方程为．
（2）联立，消去y得（*）
由于点P（x，y）在椭圆C上，∴，化为．
故（*）可化为．
∵．
所以方程组仅有一组解（x，y），即直线与椭圆有唯一公共点．
②点F（-2，0），过点F且与直线l垂直的方程为3yx-xy+6y=0．
解方程，得，
因为P（x，y）在椭圆，∴，所以解即为．
所以点F（-2，0）关于直线l的对称点的坐标为Q．
当x≠2时，=．
所以直线PQ的方程为．
即（x-2）y-yx+2y=0．
∴，即直线过定点M（2，0）．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、轴对称、中点坐标公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．