Question

12．设函数f（x）是定义在R上的增函数，如果不等式f（ax²+x-2）＜f（x²-x+1）对于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由函数的单调性可得ax²+x-2＜x²-x+1，即a＜1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$对于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，运用配方求得右边函数的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：由函数f（x）是定义在R上的增函数，
f（ax²+x-2）＜f（x²-x+1）即为
ax²+x-2＜x²-x+1，
即a＜1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$对于任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）恒成立，
由y=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=-3（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
0＜$\frac{1}{x}$≤$\frac{2}{3}$，为函数y的减区间，
可得y的最小值为-3（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$=-$\frac{5}{3}$，
即有a＜-$\frac{5}{3}$．
故实数a的范围是（-∞，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．