Question

8．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂=4，a₃•a₅=256．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过等比中项可知a₄=16，从而公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$=2，进而可得结论；
（2）通过（1）可知log₂a_n=n，利用等差数列的求和公式可知b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₃•a₅=${{a}_{4}}^{2}$=256，
∴a₄=16或a₄=-16（舍），
∴公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₂•q^n-2=4•2^n-2=2ⁿ；
（2）由（1）可知，log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
∴b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=1+2+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．