Question

已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AP，BP与直线l：x=5分别交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在（0，+∞）上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系。

Answer 1

解：（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），
∴a=4，b=2，
故椭圆C的方程为：；
（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而
设
则
∴直线的方程为：
得
∴
当且仅当即时等号成立
∴时，线段MN的长度取最小值3；
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时
此时直线BP的方程为
，
设与BP平行的直线
联立得
由得
当时，BP与l′的距离为，此时S_△BPQ=
当时，BP与l′的距离为，此时S_△BPQ=
∴当时，这样的Q点有4个
当时，这样的Q点有3个
当时，这样的Q点有2个
当时，这样的Q点有1个
当时，这样的Q点不存在。