题目内容
已知直线x-2y+4=0经过椭圆C:x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值;
(3)当线段MN的长度最小时,Q点在椭圆上运动,记△BPQ的面积为S,当S在(0,+∞)上变化时,讨论S的大小与Q点的个数之间的关系.
分析:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-4,0),上顶点为D(0,2),由此能求出椭圆C的方程.
(2)线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k).由题设条件可以求出 N(5,-
),求得|MN|,再由均值不等式进行求解.
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
,设与BP平行的直线l':3x+2y+t=0
联立
得10x2+6tx+t2-16=0,利用△=36t2-40(t2-16)=0得t=±4
最后即可解决问题.
(2)线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k).由题设条件可以求出 N(5,-
1 |
4k |
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
1 |
6 |
联立
|
10 |
解答:解:(1)由已知得椭圆C的左顶点为A(-4,0),上顶点为D(0,2),
∴a=4,b=2,
故椭圆C的方程为
+
=1
(2)直线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k),设P(x0,y0),则kAP•kBP=
•
=
=-
,∴直线BP的方程为:y=-
(x-4),
得N(5,-
)
∴|MN|=|9k+
|=9k+
≥2
=3
当且仅当9k=
即k=
时等号成立
∴k=
时,线段MN的长度取最小值3.
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
,此时直线BP的方程为3x+2y-12=0,P(
,
),|BP|=
设与BP平行的直线l':3x+2y+t=0
联立
得10x2+6tx+t2-16=0
由△=36t2-40(t2-16)=0得t=±4
当t=-4
时,BP与l'的距离为
,此时S△BPQ=
(
-3)
当t=4
时,BP与l'的距离为
,此时S△BPQ=
(
+3)
∴当0<s<
(
-3)时,这样的Q点有4个
当S=
(
-3)时,这样的Q点有3个
当
(
-3)<s<
(
+3)时,这样的Q点有2个
当S=
(
+3)时,这样的Q点有1个
当S>
(
+3)时,这样的Q点不存在.
∴a=4,b=2,
故椭圆C的方程为
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(2)直线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k),设P(x0,y0),则kAP•kBP=
y0 |
x0+4 |
y0 |
x0-4 |
y02 |
x02-16 |
1 |
4 |
1 |
4k |
得N(5,-
1 |
4k |
∴|MN|=|9k+
1 |
4k |
1 |
4k |
9k•
|
当且仅当9k=
1 |
4k |
1 |
6 |
∴k=
1 |
6 |
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
1 |
6 |
16 |
5 |
6 |
5 |
2 |
5 |
13 |
设与BP平行的直线l':3x+2y+t=0
联立
|
由△=36t2-40(t2-16)=0得t=±4
10 |
当t=-4
10 |
4
| ||
|
4 |
5 |
10 |
当t=4
10 |
4
| ||
|
4 |
5 |
10 |
∴当0<s<
4 |
5 |
10 |
当S=
4 |
5 |
10 |
当
4 |
5 |
10 |
4 |
5 |
10 |
当S=
4 |
5 |
10 |
当S>
4 |
5 |
10 |
点评:本题考查椭圆与直线的位置关系,(3)解答关系是利用方程的思想转化成根的判别等于0的问题,另外解题时要注意公式的灵活运用.

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