题目内容

已知直线x-2y+4=0经过椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AP,BP与直线l:x=5分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN的长度的最小值;
(3)当线段MN的长度最小时,Q点在椭圆上运动,记△BPQ的面积为S,当S在(0,+∞)上变化时,讨论S的大小与Q点的个数之间的关系.
分析:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-4,0),上顶点为D(0,2),由此能求出椭圆C的方程.
(2)线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k).由题设条件可以求出 N(5,-
1
4k
)
,求得|MN|,再由均值不等式进行求解.
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
1
6
,设与BP平行的直线l':3x+2y+t=0
联立
x2
16
+
y2
4
=1
3x+2y+t=0
得10x2+6tx+t2-16=0,利用△=36t2-40(t2-16)=0得t=±4
10
最后即可解决问题.
解答:解:(1)由已知得椭圆C的左顶点为A(-4,0),上顶点为D(0,2),
∴a=4,b=2,
故椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
4
=1

(2)直线AP的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AP的方程为y=k(x+4),从而M(5,9k),设P(x0,y0),则kAPkBP=
y0
x0+4
y0
x0-4
=
y02
x02-16
=-
1
4
,∴直线BP的方程为:y=-
1
4k
(x-4)

N(5,-
1
4k
)

|MN|=|9k+
1
4k
|=9k+
1
4k
≥2
9k•
1
4k
=3

当且仅当9k=
1
4k
k=
1
6
时等号成立
k=
1
6
时,线段MN的长度取最小值3.
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,k=
1
6
,此时直线BP的方程为3x+2y-12=0,P(
16
5
6
5
),|BP|=
2
5
13

设与BP平行的直线l':3x+2y+t=0
联立
x2
16
+
y2
4
=1
3x+2y+t=0
得10x2+6tx+t2-16=0
由△=36t2-40(t2-16)=0得t=±4
10

t=-4
10
时,BP与l'的距离为
4
10
-12
13
,此时S△BPQ=
4
5
(
10
-3)

t=4
10
时,BP与l'的距离为
4
10
+12
13
,此时S△BPQ=
4
5
(
10
+3)

∴当0<s<
4
5
(
10
-3)
时,这样的Q点有4个
S=
4
5
(
10
-3)
时,这样的Q点有3个
4
5
(
10
-3)<s<
4
5
(
10
+3)
时,这样的Q点有2个
S=
4
5
(
10
+3)
时,这样的Q点有1个
S>
4
5
(
10
+3)
时,这样的Q点不存在.
点评:本题考查椭圆与直线的位置关系,(3)解答关系是利用方程的思想转化成根的判别等于0的问题,另外解题时要注意公式的灵活运用.
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