Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为 

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，?为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M（1，

3

2

）对应的参数φ=

π

3

，曲线C₂过点D（1，

π

3

）．
（I）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（II）若点A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+

π

2

） 在曲线C₁上，求

1

ρ 21

+

1

ρ 22

的值．

Answer 1

（I）将M(1，

3

2

)及对应的参数?=

π

3

，代入

x=acos? y=bsin?

，得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，即

a=2 b=1

，
所以曲线C₁的方程为

x2

4

+y2=1．
设圆C₂的半径为R，由题意圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R² ．
由D的极坐标 (1，

π

3

)，得D(

1

2

，

3

2

)，代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
所以曲线C₂的方程为（x-1）²+y² =1．
（II）因为点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C₁上，又点A的直角坐标为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
点B的横坐标为ρ₂ cos（θ+

π

2

）=-ρ₂sinθ，点B的纵坐标为ρ₂sin（θ+

π

2

）=ρ₂cosθ，
所以

ρ 21 cos2θ

4

+

ρ

21

sin2θ=1，

ρ 22 sin2θ

4

+

ρ

22

cos2θ=1，
所以

1

ρ 21

+

1

ρ 22

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．（10分）