Question

【题目】设均为大于1的整数, 为n个不超过m的互不相同的正整数,且互素.证明:对任意实数x,均存在一个，使得,其中表示实数r到与其最近的整数的距离。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明两个引理，

引理1存在整数满足，

且

引理1的证明由于由裴蜀定理,知存在整数满足

①

下面证明：通过调整，存在一组满足式①，且绝对值均不超过m.

记

若则存在

于是，

又均为正数，故由式①，知

令

则 ②

且

因为

且所以，

又及，故

若，则存在

因此，有一个

令

故式②成立，且

类似地，知

，

且

由于与均为非负整数，故通过有限次上述的调整，可得到一组使得式①成立，且

引理2 1.对实数a、b，均有

2.对任意整数u和实数y，均有

引理2的证明，由于对任意整数u和实数x，均有，于是，不妨设，此时，。

若，不妨设，则

故。

若ab>0,即a、b同号，

当时，有，此时，

;

当时，总有

则

故1得证。

由1及，知2成立，

引理1、2得证。

由引理1，知存在整数使得

且，于是

由引理2得

，

因此， ③

若，由式③知

若，则在中存在两个相邻正整数。不妨设相邻，则

故与中有一个不小于

综上，总存在一个，满足。