题目内容
【题目】已知椭圆 C：
的离心率为
，以短轴为直径的圆被直线 x+y－1 = 0 截得的弦长为
．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， D 为椭圆右准线 l 与 x 轴的交点， E 为 l上的另一个点，直线 EB 与椭圆交于另一点F，是否存在点 E，使 
R)? 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）椭圆 C 的方程为：
；（2）
.
【解析】
（1）利用直线和圆相交所得弦长公式建立方程，可求得
，再结合离心率可求得
的值，由此求得椭圆的方程.（2）求出右准线方程，设出
点的坐标，写出直线
的方程并代入椭圆方程，求出
点的坐标，代入
，化简后求得点的坐标.
（1）圆心为（0,0），半径为R,，依题意，得：b＝R，
圆心到直线x+y－1 = 0的距离为：
，又弦长为
，
所以，R2＝
＝3，所以，b＝R＝
离心率e＝
＝
，即
，又
，解得：
，
椭圆 C 的方程为：
（2）依题意，有A（－2,0），B（2,0），c＝1，
椭圆的右准线方程为：
，所以，D（4,0）
设l上的另一个点E（4，t），则
与椭圆联立
，消去
可得
.
点B（2,0），F（x，y）是直线与椭圆的2个交点，所以，由韦达定理，得：2
，
所以，
，代入BE方程，解得：
，
所以，F（
，
）.因为
，所以
，与
共线，所以
，所以
..
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