题目内容
已知数列{an}满足3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜
的最小整数n是（ ）
| 1 |
| 125 |
| A、5 | B、6 | C、7 | D、8 |
分析：首先分析题目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Sn-n-6|＜
的最小整数n．故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到
=-
，然后根据数列bn=an-1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案．
| 1 |
| 125 |
| an+1-1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：对3an+1+an=4 变形得：3（an+1-1）=-（an-1）
即：
=-
故可以分析得到数列bn=an-1为首项为8公比为-
的等比数列．
所以bn=an-1=8×(-
)n-1
an=8×(-
)n-1+1=bn+1
所以Sn=Sbn+n=
+n=6-6×(-
)n+n
|Sn-n-6|=|-6×(-
)n|＜
解得最小的正整数n=7
故答案为C．
即：
| an+1-1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
故可以分析得到数列bn=an-1为首项为8公比为-
| 1 |
| 3 |
所以bn=an-1=8×(-
| 1 |
| 3 |
an=8×(-
| 1 |
| 3 |
所以Sn=Sbn+n=
8[1-(-
| ||
1-(-
|
| 1 |
| 3 |
|Sn-n-6|=|-6×(-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 125 |
解得最小的正整数n=7
故答案为C．
点评：此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an-1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．
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