题目内容

7.某市从2011年起每年在国庆期间都举办一届国际水上狂欢节,该市旅游部门将前五届水上狂欢节期间外地游客到该市旅游的人数统计如下表:
年份20112012201320142015
水上狂欢节编号x12345
外地游客人数y(单位:十万)0.60.80.91.21.5
(1)求y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$ 
(2)该市旅游部门估计,每位外地游客可为该市增加100元的旅游收入,请你利用(1)的线性回归方程,预测2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加多少旅游收入?
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x}){\;}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x.

分析 (1)根据题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$,求出回归系数,写出y关于x的线性回归方程; 
(2)利用(1)的线性回归方程计算x=7时$\widehat{y}$的值,
求出2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加的旅游收入.

解答 解:(1)根据题意,计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×(1+2+3+4+5)=3,
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×(0.6+0.8+0.9+1.2+1.5)=1,
$\sum_{i=1}^{5}$(xi-$\overline{x}$)(yi-$\overline{y}$)=(-2)×(-0.4)+(-1)×(-0.2)+0×(-0.4)+1×0.2+2×0.5=2.2,
$\sum_{i=1}^{5}$${{(x}_{i}-\overline{x})}^{2}$=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10;
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x}){\;}^{2}}$=$\frac{2.2}{10}$=0.22,
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=1-0.22×3=0.34,
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.22x+0.34; 
(2)利用(1)的线性回归方程,计算x=7时,
$\widehat{y}$=0.22×7+0.34=1.88,
且1.88×100=188(万元);
预测2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加188万元旅游收入.

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题,也考查了推理与计算能力,是中档题.

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