Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分别为AB、SB的中点．
（I）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求锐二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC中点O，并以O为原点，OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系．给出A、B、S、E、F各点的坐标，从而得到向量的坐标，计算出数量积，即可证出AC⊥SB；
（II）根据题意，算出向量的坐坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出为平面CEF的一个法向量，而为平面ABC的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦值，即可得到锐二面角F-CE-B的余弦值；
（III）在平面CEF内取点B，得到向量，根据空间坐标系点到平面的距离公式，即可算出点B到平面CEF的距离为．
解答：解：（Ⅰ）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，
因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），
，，，，C（-1，0，0）
∴，
∵
∴，即得AC⊥SB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
设为平面CEF的一个法向量，
则，取z=1，得．
∴平面CEF的一个法向量为．
又∵为平面ABC的一个法向量，
∴，
结合题意二面角F-CE-B是一个锐二面角，所以二面角F-CE-B的余弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得，
∵为平面CEF的一个法向量
∴由点到平面的距离公式，可得
点B到平面CEF的距离为 ．
点评：本题给出底面为等边三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小和点到平面的距离．着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、点到平面的距离公式和异面垂直的证法等知识，属于中档题．